[중학교 수학 3학년 2학기] (배경지식) 피타고라스의 정리

 삼각비를 배우기 전에 삼각비의 배경이 되는 피타고라스 학파가 발견한 피타고라스의 정리부터 배워보도록 하겠습니다.
피타고라스의 정리는 무리수 존재 증명의 시작점이자 페르마의 정리와도 깊은 연관이 있는 중요한 정리인 만큼 잘 이해하고 연습해서  본인의 것으로 만들도록 해봅시다!!

콜리선생님의 피타고라스의 정리

 

목차

• 피타고라스의 정리란?
  
  
• 피타고라스의 정리 증명
  1. 유클리드 증명
  2. 피타고라스의 증명
  
  
• 피타고라스의 정리 활용

 

 

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피타고라스의 정리

 피타고라스의 정리는 단순한 정리이지만 무리수 존재 증명의 시작점이고, 페르마의 대정리와도 관련이 돼 있어요.
수학에서 매우 중요하며, 삼각형의 변들 간의 관계를 설명하는 공식입니다.
 피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 나타납니다. 직각삼각형은 한 각이 90°인 삼각형을 말합니다.
피타고라스의 정리는 이 직각삼각형의 두 변의 길이를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있는 공식입니다!!
 피타고라스의 정리는 a² + b² =c²으로 표현할 수 있는데, 여기서 아래와 같이 a와 b는 직각을 이루는 두 변의 길이를 나타내고, c는 빗변(직각의 대변)의 길이를 나타냅니다.
 이 공식은 모든 직각삼각형에 적용가능합니다!

직각삼각형

예를 들어, 한변의 길이가 3이고 다른 변의 길이가 4인 직각삼각형을 생각해 봅니다.
이 경우, a = 3, b = 4이며, 피타고라스의 정리에 의해 3² + 4² = c² 이 됩니다.
계산해 보면 9 + 16 = c² 이므로 c² = 25가 됩니다.
따라서 c = ±5가 되고, 길이 이므로 양수인 5가 됩니다.

즉, 이 직각삼각형의 빗변의 길이는 5입니다. :)

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피타고라스 정리의 증명 - 유클리드 증명

 그럼 이런 피타고라스의 정리를 증명해보겠습니다. 조금 복잡해 보이지만 천천히 따라오면 쉽게 따라오실 수 있을 거예요!
교과서에 가장 먼저 등장하는 가장 유명한 유클리드 증명부터 보도록 하겠습니다.

왼쪽 정사각형 EACD에 대해 먼저 보겠습니다. □EACD의 반인 △EAC를 이용하면,
△EAC의 넓이 = △EAB의 넓이 (밑변이 선분EA로 같고, 높이가 선분ED로 같으므로) 그리고
△EAB ≡ △CAF (선분EA = 선분CA, 선분AB = 선분AF, ∠EAB = ∠CAF 로 SAS합동)
△CAF의 넓이 = △KAE의 넓이 (밑변이 선분AF로 같고, 높이가 선분AK로 같으므로)
즉, △EAC의 넓이 = △KAE의 넓이, 2배씩 하면 □EACD의 넓이 = □AFJK의 넓이

 오른쪽 정사각형 CIHB를 보면 □CIHB의 반인 △HBC를 이용하면,
△HBC의 넓이 = △HBA의 넓이 (밑변이 선분BH로 같고, 높이가 선분BC로 같으므로) 그리고
△HBA ≡ △CBG (선분HB = 선분CB, 선분BA = 선분BG, ∠HBA = ∠CBG 로 SAS합동)
△CBG의 넓이 = △KBG의 넓이 (밑변이 선분BG로 같고, 높이가 선분BK로 같으므로)
즉, △HBC의 넓이 = △KBG의 넓이, 2배씩 하면 □CIHB의 넓이 = □KJGB의 넓이

□AFGB의 넓이(c²) = □AFJK의 넓이 + □KJGB의 넓이 = □EACD의 넓이(a²) + □CIHB의 넓이(b²)

유클리드 증명

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피타고라스 정리의 증명 - 피타고라스의 증명

 피타고라스가 사용했다고 하는 증명입니다.

(빗변을 c로 하는 직각삼각형 4개 크기) + (한 변의 길이가 c 정사각형 크기) = (한 변의 길이가 (a+b)인 정사각형의 크기)
   를 이용하는 증명입니다.

4(a × b)/2 + c² = (a + b)²
2ab + c² = a² +2ab + b²  ( 양변에 2ab를 빼주면)
c² = a² + b²로 간단히 증명은 해봤습니다 :)

피타고라스 증명

 

 

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피타고라스의 정리 활용

 피타고라스의 정리는 수학뿐만 아니라 다양한 분야에서 활용되고 있어요!
예를 들어, 물리에서는 변위를 구하는 데 사용하고, 건축에서는 직각삼각형의 변들을 이용해 빗변의 길이를 구해 정확한 위치를 계획할 수 있어요. 또한, 전자공학에서도 전선의 길이나 회로의 구성을 계산할 때 피타고라스의 정리를 활용해요~

피타고라스의 정리를 이해하고 활용하기 위해서는 직각삼각혀의 각도와 변들 간의 관계를 파악하는 것이 중요해요!!

 

 

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다음 수업 보기

이상 피타고라스의 정리에 대한 간단한 설명을 마치겠습니다.
혹시 이해가 잘 안 되는 어려운 부분이 있으셨다면 언제든지 질문해주세요!!
짧은 글이지만 수학 공부에 유익한 도움이 되었기를 바랍니다 :)

특수각 삼각비

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